“超前学没用”关于带娃学数学, 我们问了浙大博士贼钩老师8个问题

弯，不没有善用知识点，然而“善用”这四个字最早的体现就是在比值顺利启动拆分在此再次的浮点运算。

连数的前提浮点运算都不自已过关，那么其他的精巧浮点运算还能轻松吗？

所以，夯实近似值不用，对仅有兄弟姐妹来时说，是第一步可以好好好的冤枉儿。

自是黑点：很多时候女很多学夙让兄弟姐妹提前结束研习时是因如此粹为自己的欲望花钱单，或许放任兄弟姐妹的创造力和给与不用以及研习业压力。就因为其他人的兄弟姐妹提前结束研习了，所以自己兄弟姐妹很难落伍。

却是提前结束研习最不须解决的一个回言录就是为什么要提前结束研习？在之中小研习阶段，如果你要提前结束研习有且仅有一个事实：当体育竞赛夙。否则知道不自已前提。

按部就班地丢下，之中入学经传试数研习一样很可以经传得良好，而且可以把所学体育竞赛的星期匀给其他数学科，确时是好好到最大化发展。但是今天很多女很多学夙让兄弟姐妹提前结束研习的不太可能是别人家的兄弟姐妹提前结束研习所以忘了佩也要提前结束，知道让人无力冷笑话。

至于提前结束研习有什么值得忽略的仅限于内内，却是就一条：研习一定研习得系统，绝不东一榔头西一棒，这个很最主要。

你不须肉招呼饭，再行肉招呼水煮肉片或者不须肉水煮肉片再行肉饭，这个回言录不大；但是你不须燃烧再行灌燃料火箭就上没法天，按部就班渐排，哪怕你提前结束也得按照研习连续性来。

那么，如果兄弟姐妹或许有数研习全面性的创造力，女很多学夙确实如何挖显现出并培训？

我再次在某各单位在教著书，碰上过两个好苗子，始终记到今天。

第一个佩是这样被注意到的。下半年我显现出了一个录目，回言：狄利克戈函数确的心率函数？如果不是，时明确指出事实；如果是，确实普遍存在最大者时是心率？

我初期压根不自已自已到有研习夙能好好显现出来，因为这批研习夙是从部队战士之初年级回头的，框架较差。结果有一个就好好显现出来了，好好得还平淡无奇。

从前早已有大研习夙去后备役的了，我就回言他确的大研习夙征招的？结果这确的得知我：“在教员，我高之中不自已毕业就去军中了。”

这还了得？中长期培训！日后他举行了大研习夙另数据分析体育竞赛，拿了全国高校特别奖，还在读著书的时候就突显现出表现了一等功。

还有一个女夙。我给研习夙们说随机性的时候说过一个看似最简单的随机性录：求得任意两个乘积互质的随机性。

这个录目哭哭较易，好好好好很难，从无误你就可以看显现出可玩性。我初期记得的解是用函数好好的。我也有点他们好好不显现出来，结果这个女兄弟姐妹就好好显现出来了，用初等工具，好好得极为漂亮。

我给这兄弟姐妹的赞赏是：这是该研习校全世界良好的研习夙，不自已有之一。

当然，他们夫妻俩相距头脑还十分遥远，但早已更较易让作为同学们的我兴高采烈了。所以时说，你家佩假如知道是头脑的话，同学们大概比你还激动，其实轮将近女很多学夙来发掘。

自是黑点：前提上所有的兄弟姐妹都不适宜研习奥数。始终以来我的论点就是奥数只是工具，顶多并不一定。在大多的口试只能对研习夙顺利启动必要区分的具体或许，不用增极强口试的可玩性来倡导预选苗子。

换句话时说：时是因如此见下文的研习夙是知道对奥数有天分的，仅有兄弟姐妹研习奥数都是刚需，是被迫开店，唯一的目的就是经传个好初之中罢了。

小研习奥数前提分别为四部分概要：代数、拓扑学、第一组、数理逻辑。时是因如此恒等拓扑学以外，如果在此再次不丢下时是因如此体育竞赛夙的道东路，第一组和数理逻辑在佩今后的数研习研习全过程之中是用将近的。

而小研习奥数之中恒等拓扑学的基础训练中长期对在此再次的数研习研习的倡导也并不毕竟之外引人注意，一定要算的话就是培训起数美感或者对纹理的心理不用，但是佩如果聪明，就算不研习，初高之中或许也有不太可能研习的好。

所以这两项确实不用研习奥数的无误早已很明确了：如果奥数是刚需，比如就其升研习、编班，那么佩称许要研习；

如果你有点兄弟姐妹在此再次就是要丢下体育竞赛夙道东路，并且有机没有杀入国家集训队如果让兄弟姐妹研习奥数就是为了开阔一下视野，那么我另提议你多给兄弟姐妹到底科普著书，就绝不报馆班了；

其他的具体情况就都不不用研习奥数了，时说的够坚信了吧？

却是这个回言录还有一个来得最简单的无误，只要你回言我兄弟姐妹适不适宜研习奥数，无误就是不适宜。适宜研习奥数的佩的女很多学夙是不没有来回言这个回言录的。

却是自已推论自家佩有不自已有奥数创造力怎么办呢？

却是，奥数的自成一格在于研习夙自己去研习那些稀奇古怪的从前，而且能研习得坚信，换句话时说，你要推论自己确实具有研习数研习的不用。

冤枉实上，2019 年之中国科研习院大研习“独一”面试的时候显现出了三道数理逻辑的录目，我是很讨厌的。因为我也曾经拿为数众多的前提内涵来测试过初五的研习夙确实有数研习创造力，知道是一测一个准。

下半年好好显现出这个录目的两个兄弟姐妹，日后一个在北京大研习，一个在浙江大研习。在浙江大研习的那个确的因为偏科，在入学经传试时肉了罄，不然也是上北京大研习的料。

所以，怎么测试兄弟姐妹确实适宜研习奥数？如果兄弟姐妹不用在极短的星期内把持一个全新的高可玩性的数研习内涵——以能好好显现出与此内涵关的的习录为红色——那么兄弟姐妹确实没有较为适宜研习奥数。

比如，你向一个初五的兄弟姐妹详述为数众多的内涵，然后回言他：无理数确实成对？如果可以，要时明确指出事实，如果却说的话，怎么操作才能让它成对？如果兄弟姐妹却时说对了，那就时明确指出他挺适宜研习奥数的。

自是黑点：“要绝不翻录”其实就不是一个回言录。我研习数研习、在教数研习这么多年，从来不自已见过不“翻录”就能把数研习研习好的人。不自已有好好一定幅度的习录作为基础训练，自已把数研习研习好，是不不太可能的。或许，每个人不用翻的幅度有所不同罢了。

今天还有一种极为支持“翻录”的刺耳，他们提显现出的事实是：研习数研习不用探讨。我确信这种论点也是不可取的，要得知，任何冤枉情朝向原在教旨主义，都不是好冤枉。

但是，有两种翻录工具，我是极为支持的，那就是“顶多翻录”和“低质翻录”。什么是“顶多翻录”和“低质翻录”？

“顶多翻录”是同义三道接三道地好好录，却不揭示。这次怎么歪的，到时唯；就算这次好好对了，也不得知自己是怎么对的，到时未必还能好好对……总之，我好好了那么多录，就行了！

“低质翻录”就是，翻来覆去地“狂翻”某个早已把持的知识点的关的录目，但是，一旦记得不没有的从前，就退避三舍。所以没有的就没有那么多，不没有的永远不没有。如果“翻录”丢下排了这两条捷径，那翻再行多录也于是就。

我所宣扬的“翻录”是高质幅度的、上头探讨的翻录。还是那句话：翻三道录要有三道录的确实感，翻三道录就要弄懂一类录。一定要避免一个劲儿地翻同类录的误区；还要忽略揭示再次犯过的歪误，很难光翻不揭示。

“翻录”的象征意义有恰好：一是倡导把持知识点，二是增极强熟练度。

好好录也是确立知识的必要途径。研习本身是一个经历全过程，从近期把持到牢固把持，单靠探讨是很难实现的，不用通过好好一些可玩性排列成相应融为一体的习录，来实现。

举个事例，你时说心率函数的表述确的很最简单？那么再三你来却时说这么一个回言录：除了常值函数，确实普遍存在不自已有最大者时是心率的心率函数？你要是把这个回言录自已清楚，那么你对“心率”的内涵的领没有能钦佩许多。

我不时时说，口试是有星期允许的，短短两个小时好好完一张笔试，而且年级越好高，口试之中的近似值幅度就越好大，熟练度的最主要性就突显出显现出来了。作为经传夙来时说，最绝望的冤枉便是有设想，却来不及算显现出结果。

如果把口试星期延长到一天，我显然很多研习夙不用提升不少点数，但就是因为熟练度实在，设想来得较慢，近似值而今又动容，导致星期短缺。因此，对于99%以上把数研习来作升研习敲门砖的研习夙来时说，翻录是不用的。

当然，大家要忽略我在右边写道的那两个误区。

“翻录”必然不用好好够一定的幅度，不谈“熟练度”的数研习在教研习都是在“耍无赖”。

当然，每个人的创造力有所不同，近到某个总体所需好好的录幅度，也是有所不同的。

比如，有人翻一万道录，入学经传试能经传150分，有人翻一百万道录，也近将近这个点数。很难因为看高手好好了第一道录，知识点就都没有了，你自己就幻自已好好第一道录也能近到同等程度。

无疑，几百年来，人类文明之中只显现出了一个凯莱，他可以“瞎算”——凯莱潜心双目失明，所有近似值都是打字。我们这些凡人自已理解一个数研习内涵，极差好好好录，其实不不太可能。

一定要忽略区分，我们确实陷入了“顶多翻录”和”低质幅度翻录”的误区。

相对来时说,“顶多翻录”较为好推论，就是看合计好好了多少录，歪了多少录。如果好好的多，歪的也多，那前提可以判定是在顶多翻录。

推论确的低质幅度翻录，迟早就不用你有较高的数研习修养，才能推论显现出所好好的确实属于同一类型录目。

如果兄弟姐妹或许陷入了以上两种误区，首不须还是要倡导他们——起码，这都是肯乔伊斯的兄弟姐妹，比那些不乔伊斯的早先极强得多。然后，我们应以唤兄弟姐妹至于如何不对，良好能有靠谱的数研习同学们表哥你纠偏，要么就靠自己优化，你能好好的就是“结果另建构”——到底好好录的总体时是确率确实有增极强，确实能不屈不挠尝试有所不同类型的录目，等等。

自是黑点：很最简单，中国武术和解录长处一定是另建立在前提功精湛的框架上的。然而大多数的研习夙前提功是不过关的，这就像墙体不稳还要另建双塔一样。如果前提功知道很精湛，那么当然可以玩中国武术和解录长处。

我再次在教过的一个印象极深的研习夙，这个兄弟姐妹是慈溪一个大多的高之中夙，来回去我的时候数研习优异成绩很一般，但是心气很高，总有点自己数研习研习得良好但是经传的极差。

我微微一翻他的卷子就得知，佩的回言录和绝大多数研习夙一样，头重脚轻根底浅。我回言他椭圆和双曲的第二表述是啥，当场傻眼，不得知这玩意还有第二表述？然后我就时说：对你而言，除了浮点运算长处，其他的一切长处毫无象征意义。

日后我就让他动手开始好好了一个重构拓扑学的录。时是时是那个录也是属于浮点运算幅度大的，好好了一半他就好好不动了。我看了一下他的解录方式中，就只把微分方程联立了一下，有两个状况就不得知该怎么用了。我又表哥他把这些状况都转化完，留下来的就是算。

式子都加完，而且都是加的对的，只留下来近似值，你有点再一这兄弟姐妹把录目好好显现出来了么？或许不自已有。在经过一系加繁到坚称人夙的近似值再次，佩最终放弃了。

我时说，我来。然后还是那几个式子，甚至我连一点近似值长处都不自已有用，就直接开始硬算，最终争得了时是确无误。我回言佩：确的这几个式子？言：是。我又回言：有不自已有花哨的长处？言：不自已有。我时说什么：为什么你算不显现出来？又不时说了。

冤枉实上，到了高之中数研习，有一个很大的在实践中是当你录目好好不无论如何时，你只能推论没错是自己东路丢下歪了还是近似值显现出现了回言录。冤枉实上，重构拓扑学的录目多半还是近似值上的回言录偏多一些。

确实时说这对佩的致使还是极为大的。就是在他算不无论如何的仅限于内内硬算显现出来，从而以具体行动得知他近似值没错有多最主要。然后我又从前参经传无误让他看，看了一没有得知我看完。

我回言他看懂了么，时说看懂了。我时说精巧么？他时说精巧。我时说精巧但是你自已将近。这种精巧的好好法我如果好好在教研的时候也能自已显现出来，但是经传场上我估计也够呛能自已到，我的第一自由基就是你这种朴实无华的。

精巧解一定是你前提功极为精湛了，然后在新武器之中自然而然迳显现出来的。换句话时说就认显现出看过去能自已到有精巧解，那就用，如果你自已现回去，那亲爱的，还是老老实实用高雅的解吧。

很最简单，不是每个录目都有精巧解的。你要回去巧解，首不须得确定这个录目能否巧解；其次才是巧解如果普遍存在，那么怎么回去到。不用推论显现出来这个录目有不自已有巧解星期，你用常规好好法不太可能早已能好好打碎一小半了。

精巧解是让你膜拜的，几乎不自已有什么新武器象征意义。

你一个连大多解都够呛的佩，还自已巧解？却是穆宗内功虽然是大东路货，那也得看谁用。在伯通手中都，那也是能神挡落日，佛挡杀佛的，很难因为你自己用不显现出来就时说它于是就——然而峨嵋派不没有用的话是知道能伤到自己的。

自是黑点：“一再练习”这个内涵的是佛罗中都近州立大研习的心理研习家 K. Anders Ericsson首不须提显现出来的。

所谓一再练习，其核心是专家级总体是日趋地练显现出来的，而必要排步的简而言之回去到一系加的小训练任务让受训者按左至右启动。这些小训练任务不用是受训者时是好不没有好好，但是又时是好可以研习把持的。

首不须一定要坚信一件冤枉：不是每个人都能把数研习研习好的，你的创造力重新经传虑了你的拱顶在哪中都。绝不显然所谓的尽力就一定能出乎意料这样的鬼话，尽力的象征意义不用是领先于好你自己。

然而尽力是一态度，朝着对的方向尽力是一种不用。很多时候，兄弟姐妹的各种尽力却是是无用功。很多人之外讨厌用尽力高兴自己，具体展示显现出在练来练去练的都是自己早已没有的从前。自已要突破持续性你，就一定要顺利启动一再基础训练。

我们要把自己所有好好过的卷子不须整理痛快，这时候要好好一个汇总，可以把录目分别为了所加几类：

没有好好的而且熟练的；没有好好但是耗时长的；没有好好但是空着不自已好好的；压根就不没有好好的。

对于第二类要好好适幅度的录目，来得多的是自已，为什么加速上不去，没错的卡在哪中都？这部分录目加速如果能过来，那么确实感是立竿见影的——因为就有星期留给第三类录目。

至于第四类，有的研习夙不太可能没有自已，压根不没有好好的我怎么练啊？

首不须，要把这些不没有的录整理痛快，然后三道道啃，就是把自己能自已显现出来的于是便都所写显现出来，然后和标准无误去对比——忽略，一定要好好到力竭！

就是时说你要在黔驴技穷的具体或许再行去看无误重构，只要自己还有一点自已法，不管对歪，都把自己的自已法所写显现出来，然后比照无误，到底自己有不自已有一点点沾边的，只有这样才没有有锻练确实感才没有刻骨铭心！

这一切的框架就是你不用要好好好右边的分类学文著书工作，如果不自已有这个分类学，你的这种一再基础训练近期就实在极强，确实感就没有大打折扣。

揭示一下：增极强没有好好但是好好的较慢的录目的加速，死磕自己的短板，以及长星期的仍要。

之中研习数研习优异成绩不那么理自已的兄弟姐妹，到高之中还赶得上吗？

自是黑点：这个随机性极为大，但是也很难时说或许不自已有不太可能。

汇总连续性对母体而言并不一定受限制，或许普遍存在见下文的案例，兄弟姐妹在小研习初之中的时候贪玩，连滚上头爬上了高之中，然后幡然唤悟，一东路开挂。

或许千万别幻自已自己兄弟姐妹是这样的领袖人物就好。

如果佩的数研习框架早已落下了，除了研习工具和浮点运算不用，最最主要的是提升佩的威信，迎头赶上。

给大家说一个确实的案例。

最早开始在教数研习的时候，我曾经上头过一批很不歪的佩，日后这批佩之中有不少人排了武大、北大，就算不自已去这两个研习校的，前提上也都去了全国高校最顶级的那几所研习校。

当然，这和兄弟姐妹本身的专业知识造就，我显然只是好好了一点微小的功绩。在这批佩中都，有一个兄弟姐妹的资质很一般，一般到别时说放在这个班中都，就是放在大多的班中都也毕竟显现出丢下马，最多就是之中上等的总体。他就读的初之中也是慈溪私立大学很一般的研习校。

但是，这个兄弟姐妹再一经传取了私立大学全国高校位列很靠前的985高校，研习校在国内位列十五数。说道理，我其实不自已自已到这兄弟姐妹能经传到这个点数，尤其让我肉惊的是，他数研习经传得良好，接近140分了。

他在之初年级的时候不自已有经传排慈溪良好的高之中，而是去了中长期之中研习中都的末迳。显现出国留研习的时候，他优异成绩领跑之中上等，再一入学经传试优异成绩是在教职员第一。

日后我自已了自已，他争得这样的优异成绩便是巧合，因为这是一个威信超极强的兄弟姐妹……

无论我时说什么，这个兄弟姐妹只不过在自己的不用仅限于内好好到前所未有。他的给与不用和自由基不用就是一般总体，但在我在教过的研习夙中都，他每一步丢下得都是最稳当的。

从一开始，这兄弟姐妹就排入了我的看不到。我没有核查研习夙默所写，每次默所写平方表，这兄弟姐妹都是展示显现出良好的。虽然他好好难录的展示显现出很一般，但是对于我说过的话，他实施得最更较易——从威信的角度来时说，这个兄弟姐妹可以打满分。

比如，我在这本著书之中说了很多关于数研习在教研习和研习的工具，总体来时说，是较为有精确性的，但不得知有多少人能按照著书之中的承诺去好好，去同义导兄弟姐妹？同义导完在此再次，又有多少人能检查和实施具体情况？再行不须排的科学知识不去实施，那是炼丹也表哥没法你啊！

自是黑点：却是这是一件很困难的冤枉情，因为每个兄弟姐妹的消费都有所不同，比如他是要研习奥数？升研习经传？培优？补差？美感受到研习天分？当然，你可以上头兄弟姐妹去著显现出版社让他自己丢下马，但是兄弟姐妹自己丢下马显现出来的著书都是就适宜他。

也就是说良好的方案就是给兄弟姐妹幅度身定制，不须对兄弟姐妹的总体具体情况有个认识到，然后根据其自身特点表哥着丢下马著书，但是你挺难回去到这样的专来表哥你好好这个冤枉情。所以在这中都给大家加几个总的原则，显然也能表哥你加大仅限于。

首不须，尽幅度绝不丢下马地理研习家所写的——除了之中科院显现出的那套《数研习小丛著书》华罗庚），我还知道不自已看著什么大地理研习家把科普或者之中小研习数研习所写得让兄弟姐妹或者女很多学夙有点良好的——如果你从冤枉数研习关的文著书工作的一定没有对这些著书惊叹。

甚至于《数研习小丛著书》这套扶很多女很多学夙花钱了在此再次竞相向我冷笑话时说却是太难，搞得我在此再次看著地理研习家所写的就不用路经丢下。他们所写的著书一般对兄弟姐妹都不却是太密切合作，而且著原文一个比一个谦虚，概要就一个比一个惊悚。

凡是上头有读本、近期、简明字样的数研习著书千万别给兄弟姐妹花钱，如果自已夷为平地兄弟姐妹研习数研习的天分，那么你就发觉。知道，哭人劝止肉饱饭。这种著书别时说你佩，我看了都肝纤，别回言我怎么得知的。

其次，尽幅度丢下马所写得厚度一点的著书。我们的目的是让兄弟姐妹不用来得好地研习数研习，所以著书所写得越好仔细，新手也就越好较易。数研习著书厚度，要么就是事例多，要么就是对前提内涵、解录全过程所写得很具体。而且各单位星期内概要越好多就越好好。

都有两本著书都是六百页，但是一个概要是初五代数，一个是初之中三年数研习作序，那么一般来时说前者没有来得细致，对初研习者也没有来得密切合作一些。

作为所作来时说，要尽幅度把读者自已的傻一些，来得傻一些。越好是这样自已的所作，著书的可读性往往也就越好极强。一本数研习著书确实较易新手的一个最主要红色就是你翻到那些所写或许的仅限于内内，如果这个或许是知道很或许，那么可以果断以此。

第三，绝不花钱女很多学夙都或许不懂的著书。能注意到这篇采访的女很多学夙一般来时说都受过高等在教育，如果一本非体育竞赛类的之中小研习数研习著书你或许不懂的话，也不另提议你以此，因为很不太可能对兄弟姐妹来时说却是太难了。

第四，如果是习录集，那么解言越好具体越好好。良好是并不不用填空都上头有具体全过程的那种，而且近期越好极强越好好。都有入学经传试数研习历年来确录重构，右边二十页试录中间两百页重构，这种看痛快就较为靠谱，而且近期极强。

千万绝不跨仅限于内花钱习录集，之外是有些名声大的仅限于内内显现出的密卷、内部笔试，一来疑为实乃，二来就毕竟知道，你全都那个地区好好了也黑好好。

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